Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Остатки» для 2-9 класса - сложность 1 с решениями

При каких <i>n</i>   <i>n</i>² – 6<i>n</i> – 4  делится на 13?

<i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3. Доказать, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24.

Найти   a) 3 последние цифры;   б) 6 последних цифр числа  1⁹⁹⁹ + 2⁹⁹⁹ + ... + (10⁶ – 1)⁹⁹⁹.

В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.

Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

Доказать, что  2^2¹⁹⁸⁹– 1  делится на 17.

<i>x</i>² ≡ <i>y</i>² (mod 239).  Доказать, что  <i>x</i> ≡ <i>y</i>  или  <i>x</i> ≡ – <i>y</i>.

Доказать, что  <i>n</i>³ + 5<i>n</i>  делится на 6 при любом целом <i>n</i>.

Доказать, что  (2^<i>n</i> – 1)^<i>n</i> – 3  делится на  2^<i>n</i> – 3  при любом <i>n</i>.

Найти остаток  (116 + 17¹⁷)²¹·7⁴⁹  от деления на 8.

Найти остаток  4¹⁸ + 5¹⁷  от деления на 3.

Доказать, что  776⁷⁷⁶ + 777⁷⁷⁷ + 778⁷⁷⁸  делится на 3.

Найти остаток  13¹⁶ – 2⁵⁵·5¹⁵  от деления на 3.

Доказать, что  43²³ + 23⁴³  делится на 66.

Найти последнюю цифру числа  1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

Найти последнюю цифру числа  7¹⁹⁸⁸ + 9¹⁹⁸⁸.

Число <i>x</i> оканчивается на 5. Доказать, что <i>x</i>² оканчивается на 25.