Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Остатки» для 4-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5  бесконечно.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3  бесконечно.

Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел

  a) имеется бесконечно много составных чисел.

  б) имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

Доказать, что  <i>n</i>² + 5<i>n</i> + 16  не делится на 169 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Может ли  <i>m</i>! + <i>n</i>!  оканчиваться на 1990?

Доказать, что  <i>a</i>^2<i>n</i>+1 + (<i>a</i> – 1)^<i>n</i>+2  делится на  <i>a</i>² – <i>a</i> + 1  (<i>a</i> – целое, <i>n</i> – натуральное).

<i>m</i> и <i>n</i> взаимно просты, <i>b</i> – произвольное целое число. Доказать, что числа  <i>b,  b + n,  b</i> + 2<i>n,  ...,  b</i> + (<i>n</i> – 1)<i>n</i>  дают все возможные остатки по модулю <i>m</i>.

Доказать, что  3^<i>n</i> + 1  не делится на 10100.

<i>a</i> ≡ 68 (mod 1967),   <i>a</i> ≡ 69 (mod 1968).  Найти остаток от деления <i>a</i> на 14.

Доказать, что <i>n</i>-е простое число больше 3<i>n</i> при  <i>n</i> > 12.

Доказать, что

  а) Степень двойки не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.

  б) Квадрат не может состоять из одинаковых цифр (если он не однозначный).

  в) Квадрат не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.

<i>a</i>₁ = <i>a</i>₂ = 1,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_na</i>_<i>n</i>–1 + 1.  Доказать, что <i>a_n</i> не делится на 4.

Доказать, что  2^{2<i>n</i>–1} + 3<i>n</i> + 4  делится на 9 при любом <i>n</i>.

Доказать, что при чётном <i>n</i>   20^<i>n</i> + 16^<i>n</i> – 3^<i>n</i> – 1  делится на 323.

Доказать, что для любого<i>n</i> ¹/₈₁(10^<i>n</i>– 1) –^<i>n</i>/₉  – целое число.

Доказать, что для любого <i>n</i>

  а)  7^2<i>n</i> – 4^2<i>n</i>  делится на 33;

  б)  3^6<i>n</i> – 2^6<i>n</i>  делится на 35.

Доказать, что  43⁴³ + 17¹⁷  делится на 10.

Доказать, что если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 7, то и <i>ab</i> делится на 7.

Найти наименьшее натуральное <i>N</i>, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, ..., 7 по модулю 8.

На сколько нулей оканчивается число  9⁹⁹⁹ + 1?

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Существует ли такое натуральное <i>x</i>, что  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1  делится на 1985?