Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Скалярное произведение. Соотношения» - сложность 3 с решениями

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>таковы, что для любой точки <i>M</i>числа($\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$) и ($\overrightarrow{MC}$,$\overrightarrow{MD}$) различны. Докажите, что$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$.

Дан четырехугольник<i>ABCD</i>. Пусть<i>u</i>=<i>AD</i>²,<i>v</i>=<i>BD</i>²,<i>w</i>=<i>CD</i>²,<i>U</i>=<i>BD</i>²+<i>CD</i>²-<i>BC</i>²,<i>V</i>=<i>AD</i>²+<i>CD</i>²-<i>AC</i>²,<i>W</i>=<i>AD</i>²+<i>BD</i>²-<i>AB</i>². Докажите, что<i>uU</i>²+<i>vV&l...

Пусть<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_n — векторы сторон<i>n</i>-угольника,$\varphi_{ij}^{}$=$\angle$(<b>a</b>_i,<b>a</b>_j). Докажите, что<i>a</i>₁²=<i>a</i>₂²+...+<i>a</i>_n²+ 2$\sum\limits_{i>j>1}^{}$<i>a</i>_i<i>a</i>_jcos$\varphi_{ij}^{}$, где<i>a</i>_i= |<b>a</b>_i|.

Пусть<i>A</i>₁...<i>A</i>_n— правильный<i>n</i>-угольник,<i>X</i>— произвольная точка. Рассмотрим проекции<i>X</i>₁, ...,<i>X</i>_nточки<i>X</i>на прямые<i>A</i>₁<i>A</i>₂, ...,<i>A</i>_n<i>A</i>₁. Пусть<i>x</i>_i— длина отрезка<i>A</i>_i<i>X</i>_iс учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи<i>A</i>_i<i>X</i><sub>i</su...

Докажите, что<i>OH</i>²=<i>R</i>²(1 - 8 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$).

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>, а точка <i>H</i>обладает тем свойством, что$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$. Докажите, что <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника<i>ABC</i>.

а) Пусть<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i> — произвольные точки плоскости. Докажите, что($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{CD}$) + ($\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{AD}$) + ($\overrightarrow{CA}$,$\overrightarrow{BD}$) = 0. б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.