Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема о группировке масс» для 5-11 класса - сложность 1-3 с решениями

Докажите теорему Чевы (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156799">4.48</a>, б)) с помощью группировки масс.

Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,...,<i>F</i>₁ — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,...,<i>FA</i>произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников<i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>E</i>₁и <i>B</i>₁<i>D</i>₁<i>F</i>₁совпадают.

Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Докажите, что медианы треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.