Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Биссектриса делит дугу пополам» для 8 класса
параграф 7. Биссектриса делит дугу пополам
НазадПродолжение биссектрисы <i>AD</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>E</i>. Из точки <i>D</i>на стороны <i>AB</i>и <i>AC</i>опущены перпендикуляры <i>DP</i>и <i>DQ</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>ABC</sub>=<i>S</i><sub>APEQ</sub>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. На его стороне <i>AB</i>выбирается точка <i>P</i>и через нее проводятся прямые <i>PM</i>и <i>PN</i>, параллельные <i>AC</i>и <i>BC</i>соответственно (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AC</i>); <i>Q</i> — точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>APN</i>и <i>BPM</i>. Докажите, что все прямые <i>PQ</i>проходят через фиксированную точку.
Докажите, что в любом треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AE</i>лежит между медианой <i>AM</i>и высотой <i>AH</i>.
Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины <i>C</i>, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.
В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> не равны. Докажите, что биссектриса угла <i>C</i> делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины <i>C</i>, тогда и только тогда, когда <!-- MATH $\angle C = 90^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 90<sup><tt>o</tt></sup>.