Олимпиадные задачи из источника «глава 28. Инверсия» - сложность 5 с решениями

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением<i>d</i>²=<i>r</i>₁²+<i>r</i>₂²±6<i>r</i>₁<i>r</i>₂(к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58359/problem_58359_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂цепочка из <i>n</i>касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями <i>T</i>₁и <i>T</i>₂, касающимися <i>R</i>₁и <i>R</i>₂в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла360^<tt>o</tt>/<i>n</i>(рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58358/problem_58358_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что если существует цепочка окружностей<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_n, каждая из которых касается двух соседних (<i>S</i>_nкасается <i>S</i>_{n - 1}и <i>S</i>₁) и двух данных непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности <i>T</i>₁, касающейся <i>R</i>₁и <i>R</i>₂(одинаковым образом, если <i>R</i>₁и ...

Окружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_nкасаются двух окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂и, кроме того,<i>S</i>₁касается <i>S</i>₂в точке <i>A</i>₁,<i>S</i>₂касается <i>S</i>₃в точке <i>A</i>₂...,<i>S</i>_{n - 1}касается <i>S</i>_nв точке<i>A</i>_{n - 1}. Докажите, что точки<i>A</i><sub>1</sub&g...

Пусть на двух пересекающихся прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂выбраны точки <i>M</i>₁и <i>M</i>₂, не совпадающие с точкой пересечения <i>M</i>этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через <i>M</i>₁,<i>M</i>₂и <i>M</i>. Если (<i>l</i>₁,<i>M</i>₁), (<i>l</i>₂,<i>M</i>₂), (<i>l</i>₃,<i>M</i>₃) — прямые с выбранными точками в общем положении...

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из <i>n</i>прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если <i>l</i>₁,<i>l</i>₂,<i>l</i>₃,<i>l</i>₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности <i>S</i>_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой <i>l</i>_i, проходят через...

На плоскости взяты шесть точек <i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>B</i>₁,<i>B</i>₂,<i>C</i>₁,<i>C</i>₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂,<i>A</i>₂<i>B</i>₁<i>C</i>₂,<i>A</i><sub>2</su...

На плоскости взяты шесть точек <i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>A</i>₃,<i>B</i>₁,<i>B</i>₂,<i>B</i>₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₃,<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>A</i>₃и <i>B</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃проходят через одну точку, то и описанные окру...

Стороны выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда<i>AHBKCLDMEN</i>(рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, лежат на одной окружности. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58351/problem_58351_img_2.gif" border="1"></div>

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах). б) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>C</i>₁и<i>B</i>₁так, что<i>AC</i>₁=<i>B</i>₁<i>C</i>₁и вписанная окружность<i>S</i>треугольника<i>ABC</i>является вневписанной окружностью треугольника<i>AB</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника<i>AB</i>₁<i>C</i&gt...

С помощью одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.

Проведите через данные точки <i>A</i>и <i>B</i>окружность, пересекающую данную окружность <i>S</i>под углом $\alpha$.

Постройте окружность, касающуюся данной окружности <i>S</i>и перпендикулярную двум данным окружностям <i>S</i>₁и <i>S</i>₂.

Проведите через данную точку окружность, перпендикулярную двум данным окружностям.

Постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей (<i>задача Аполлония</i>).

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

Через точку <i>A</i>проведена прямая <i>l</i>, пересекающая окружность <i>S</i>с центром <i>O</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>и не проходящая через <i>O</i>. Пусть <i>M'</i>и <i>N'</i> — точки, симметричные <i>M</i>и <i>N</i>относительно<i>OA</i>, а <i>A'</i> — точка пересечения прямых<i>MN'</i>и <i>M'N</i>. Докажите, что <i>A'</i>совпадает с образом точки <i>A</i>при инверсии относительно <i>S</i>(и, следовательно, не зависит от выбора прямой <i>l</i>).

Докажите, что две непересекающиеся окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.