Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Касающиеся окружности» - сложность 2 с решениями

Радиусы окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающихся в точке <i>A</i>, равны <i>R</i>и <i>r</i>(<i>R</i>><i>r</i>). Найдите длину касательной, проведенной к окружности <i>S</i>₂из точки <i>B</i>окружности <i>S</i>₁, если известно, что <i>AB</i>=<i>a</i>. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем одна из точек пересечения окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂лежит на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что сумма радиусов окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂равна радиусу окружности <i>S</i>.

Две касающиеся окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂касаются внутренним образом окружности радиуса <i>R</i>с центром <i>O</i>. Найдите периметр треугольника <i>OO</i>₁<i>O</i>₂.

Три окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂с двумя другими точками касания, пересекают окружность <i>S</i>₃в точках, являющихся концами ее диаметра.