Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Медиана делит площадь пополам» для 2-10 класса - сложность 2-5 с решениями

Внутри выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>существует такая точка <i>O</i>, что площади треугольников <i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCD</i>и <i>ODA</i>равны. Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника делит другую пополам.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i>вписан в окружность. Диагонали <i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника <i>ABCDEF</i>равна удвоенной площади треугольника <i>ACE</i>.

На продолжениях сторон <i>DA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁так, что $\overrightarrow{DA_1}$= 2$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{AB_1}$= 2$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC_1}$= 2$\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{CD_1}$= 2$\overrightarrow{CD}$. Найдите площадь получившегося четырехугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, если известно, что пл...

На продолжениях сторон треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что $\overrightarrow{AB_1}$= 2$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC_1}$= 2$\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{CA_1}$= 2$\overrightarrow{AC}$. Найдите площадь треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, если известно, что площадь треугольника <i>ABC</i>равна <i>S</i>.

Внутри данного треугольника <i>ABC</i>найдите такую точку <i>O</i>, что площади треугольников <i>BOL</i>,<i>COM</i>и <i>AON</i>равны (точки <i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, причем <i>OL</i>||<i>BC</i>,<i>OM</i>||<i>AC</i>и <i>ON</i>||<i>AB</i>; рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56753/problem_56753_img_2.gif" border="1"></div>

Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите все такие точки <i>P</i>, что площади треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>и <i>ACP</i>равны.