Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 7-8 класса - сложность 5 с решениями

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Продолжения сторон четырехугольника <i>ABCD</i>, вписанного в окружность с центром <i>O</i>, пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, а его диагонали пересекаются в точке <i>S</i>. а) Расстояния от точек <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>до точки <i>O</i>равны <i>p</i>,<i>q</i>и <i>s</i>, а радиус описанной окружности равен <i>R</i>. Найдите длины сторон треугольника <i>PQS</i>. б) Докажите, что высоты треугольника <i>PQS</i>пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Окружности<i>S</i>₁и<i>S</i>₂,<i>S</i>₂и<i>S</i>₃,<i>S</i>₃и<i>S</i>₄,<i>S</i>₄и<i>S</i>₁касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников. а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный. б) Докажите, что если<i>r</i>_a,<i>r</i>_b,<i>r</i>_c,<i>r</i>_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, то<div align="CENTER">...

На стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>K</i>₁и<i>K</i>₂. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников<i>ABK</i>₁и<i>ACK</i>₂общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников<i>ABK</i>₂и<i>ACK</i>₁пересекаются в одной точке.