Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 2-8 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.

Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?

В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.

Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.

В параллелограмм <i>P</i>₁ вписан параллелограмм <i>P</i>₂, а в параллелограмм <i>P</i>₂ вписан параллелограмм <i>P</i>₃, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i>₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i>₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i>₃.

Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.

Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i>_ABCD.

Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i>_ABCD< 4<i>S</i>_AMN.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что  <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.

Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.

На основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>нашлась точка <i>E</i>, обладающая тем свойством, что периметры треугольников <i>ABE</i>,<i>BCE</i>и <i>CDE</i>равны. Докажите, что тогда <i>BC</i>=<i>AD</i>/2.

Внутри треугольника <i>ABC</i>периметра <i>P</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что <i>P</i>/2 <<i>AO</i>+<i>BO</i>+<i>CO</i><<i>P</i>.

а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.) б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

Точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁,<i>B</i>₁взяты на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника <i>ABC</i>так, что <i>BA</i>₁=$\lambda$^.<i>BC</i>,<i>CB</i>₁=$\lambda$^.<i>CA</i>,<i>AC</i>₁=$\lambda$^.<i>AB</i>, причем 1/2 <$\lambda$< 1. Докажите, что периметр <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>и периметр <i>P</i>₁треугольника <i>A</i>₁&...

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей <i>d</i>расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей <i>d'</i>. Докажите, что <i>d'</i>< 2<i>d</i>.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Пусть <i>p</i>=${\frac{a}{b}}$+${\frac{b}{c}}$+${\frac{c}{a}}$и <i>q</i>=${\frac{a}{c}}$+${\frac{c}{b}}$+${\frac{b}{a}}$. Докажите, что |<i>p</i>-<i>q</i>| < 1.

Точки <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nне лежат на одной прямой. Пусть две разные точки <i>P</i>и <i>Q</i>обладают тем свойством, что <i>A</i>₁<i>P</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>P</i>=<i>A</i>₁<i>Q</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>Q</i>=<i>s</i>. Докажите, что тогда <i>A</i>₁<i>K</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>K</i><<i>s</i>для некоторой точки <i>K</i>.