Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» - сложность 3-4 с решениями

Найти наименьшее натуральное число <i>A</i>, удовлетворяющее следующим условиям:

  а) его запись оканчивается цифрой 6;

  б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.

Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.

36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.

Доказать, что каковы бы ни были числа <i>a, b, c</i>, по крайней мере одно из уравнений

    <i>a</i> sin <i>x + b</i> cos <i>x + c</i> = 0,   2<i>a</i> tg <i>x + b</i> ctg <i>x</i> + 2<i>c</i> = 0

имеет решение.

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Найти решение уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109174/problem_109174_img_2.gif">   в целых числах.

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

На плоскости дан квадрат со стороной<i> a </i>. Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше<i> a </i>.

Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел <i>y</i>, удовлетворяющих условию  |<i>y</i> + ¹/_<i>y</i>| = <img src="/storage/problem-media/109169/problem_109169_img_2.gif"> .

Доказать, что сумма<i> cos α+ cos</i>(72<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(144<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(216<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(288<i>^o+α</i>)не зависит от<i> α </i>.

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

В плоскости расположена прямая<i> y </i>и прямоугольный треугольник<i> ABC </i>с катетами<i> AC=</i>3<i>; BC=</i>4. Вершина<i> C </i>находится на расстоянии 10 от прямой<i> y </i>. Угол между<i> y </i>и направлением катета<i> AC </i>равен<i> α </i>. Надо определить угол<i> α </i>, при котором поверхность, полученная вращением треугольника<i> ABC </i>вокруг прямой<i> y </i>, будет наименьшей.

Если через точку<i> O </i>, расположенную внутри треугольной пирамиды<i> ABCD </i>, провести отрезки<i> AA₁,BB₁,CC₁,DD₁ </i>, где<i> A₁ </i>лежит на грани, противоположной вершине<i> A </i>,<i> B₁ </i>– на грани, противоположной вершине<i> B </i>, и т.д., то имеет место равенство <center><i>

A₁O/A₁A+B₁O/B₁B+C₁O/C₁C+D₁O/D₁D=</i>1<i>.

</i></center>

Найти целые решения уравнения  <i>x</i>²<i>y</i> = 10000<i>x + y</i>.

Доказать, что для любого целого <i>n</i> число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_2.gif">   можно представить в виде разности   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_3.gif">   где <i>k</i> – целое.

В треугольной пирамиде периметры всех её граней равны. Найти площадь полной поверхности этой пирамиды, если площадь одной её грани равна<i> S </i>.

Из условия<i> tgϕ=</i>1/<i> cosα cosβ+ tgα tgβ </i>вывести, что<i> cos </i>2<i>ϕ<img src="/storage/problem-media/109155/problem_109155_img_2.gif"> </i>0.

Сколько корней имеет уравнение<i> sin x=x/</i>100?

Ребро правильного тетраэдра равно<i> a </i>. Найти стороны и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстояние<i> b </i>, причём0<i><b<a<img src="/storage/problem-media/109148/problem_109148_img_2.gif">/</i>4.

Показать, что<i> sin </i>36<i>^o=</i>1/4<i><img src="/storage/problem-media/109145/problem_109145_img_2.gif"> </i>.

Доказать, что если в треугольной пирамиде две высоты пересекаются, то две другие высоты также пересекаются.

Дан ряд чисел<i> 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., </i>каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число<i> n>2 </i>равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

<i>x</i>₁ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0,  <i>x</i>₂ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² – <i>ax – b</i> = 0.

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax</i> + 2<i>b</i> = 0  имеет вещественный корень, заключённый между <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂.  (<i>a</i> и <i>b</i> – вещественные числа).

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Решить систему уравнений     1 − <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃ = 0,

    1 + <i>x</i>₂<i>x</i>₃<i>x</i>₄ = 0,

    1 − <i>x</i>₃<i>x</i>₄<i>x</i>₅ = 0,

    1 + <i>x</i>₄<i>x</i>₅<i>x</i>₆ = 0,

      ...

    1 − <i>x</i>₄₇<i>x</i>₄₈<i>x</i>₄₉ = 0,

    1 + <i&...