Олимпиадные задачи из источника «1953 год» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями

На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти все клетки, куда он может попасть за 2<i>n</i> ходов.

Пусть  <i>x</i>₀ = 10⁹,  <i>x_n</i> = <img width="69" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_2.gif">.  Доказать, что  0 < <i>x</i>₃₆ – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_3.gif"> < 10^–9.

Даны уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   (1)    и – <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>   (2).     Доказать, что если <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂ – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень <i>x</i>₃ уравнения  ½ <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  что либо  <i>x</i>₁ ≤ <i>x</i>₃ ≤ <i>x</i>₂,  либо  <i>x</i>₁ ≥ <i>x</i>₃ ≥ <i>x</i>₂.

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.

<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i>— длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через<i>S</i>его площадь. Доказать, что<div align="CENTER"> <i>S</i>$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(<i>a</i> + <i>b</i>)(<i>c</i> + <i>d</i> ). </div>

Доказать неравенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$. </div>