Олимпиадные задачи из источника «1953 год» - сложность 1-2 с решениями
Найти корни уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">
Разрезать куб на три равные пирамиды.
Решить систему
<i>x</i><sub>1</sub> + 2<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + ... + 2<i>x</i><sub>100</sub> = 1,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + ... + 4<i>x</i><sub>100</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 5<i>x</i><sub>3</sub> + ... + 6<i>x</i><sub>100</sub> = 3,
...
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 5<i>x</i><sub>3</sub> + ....
В плоскости расположено <i>n</i> зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?
На окружности даны точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?
Решить систему
<i>x</i><sub>1</sub> + 2<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + 2<i>x</i><sub>4</sub> + 2<i>x</i><sub>5</sub> = 1,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + 4<i>x</i><sub>4</sub> + 4<i>x</i><sub>5</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 5<i>x</i><sub>3</sub> + 6<i>x</i><sub>4</sub> + 6<i>x</i><sub>5</sub> = 3,
<i>x</i><sub>1<...
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?
Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.
Дан прямой круговой конус и точка<i>O</i>. Найти геометрическое место вершин конусов, равных данному, с осями, параллельными оси данного конуса, и содержащих внутри данную точку<i>O</i>.
<i>A</i> – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная <i>AA'BB'CC'DD'EE'</i> является его внешним контуром. Прямые <i>AB</i> и <i>DE</i> продолжены до пересечения в точке <i>F</i>. Докажите, что многоугольник <i>ABB'CC'DED'</i> равновелик четырёхугольнику <i>AD'EF</i>.
Докажите, что многочлен вида <i>x</i><sup>200</sup><i>y</i><sup>200</sup> + 1 нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только <i>x</i> и одного только <i>y</i>.
<i>AB</i>и<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>— два скрещивающихся отрезка.<i>O</i>и<i>O</i><sub>1</sub>— соответственно их середины. Докажите, что отрезок<i>OO</i><sub>1</sub>меньше полусуммы отрезков<i>AA</i><sub>1</sub>и<i>BB</i><sub>1</sub>.
Найти геометрическое место точек, координаты которых (<i>x</i>,<i>y</i>) удовлетворяют соотношениюsin(<i>x</i>+<i>y</i>) = 0.
Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> число <i>n</i>² + 8<i>n</i> + 15 не делится на <i>n</i> + 4.
Разделить отрезок пополам с помощью угольника. (С помощью угольника можно проводить прямые и восстанавливать перпендикуляры, опускать перпендикуляры нельзя.)
Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.
Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 333...33 (100 троек)?