Олимпиадные задачи из источника «1954 год» для 8-11 класса - сложность 2 с решениями

Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?

Дан отрезок <i>OA</i>. Из конца отрезка <i>A</i> выходит 5 отрезков <i>AB</i>₁, <i>AB</i>₂, <i>AB</i>₃, <i>AB</i>₄, <i>AB</i>₅. Из каждой точки <i>B</i>_i могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки <i>O</i>).

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что  <i>AB = CD,  AD = BC</i>  и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Найти все действительные решения уравнения  <i>x</i>² + 2<i>x</i> sin(<i>xy</i>) + 1 = 0.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 3<i>a</i>₂ + 2<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + 2<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 3<i>a</i>₄ + 2<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 3<i>a</i>₁₀₀ +...

Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Доказать, что если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif">   то  <i>x</i>⁴ + <i>a</i>₁<i>x</i>³ + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x + a</i>₄  делится на  (<i>x – x</i>₀)².

Найти все решения системы уравнений   <i>x</i>(1 – 2^–<i>n</i>) + <i>y</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–1}) + <i>z</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–2}) = 0,   где  <i>n</i> = 1, 2, 3, 4, ...

Из произвольной внутренней точки<i>O</i>выпуклого<i>n</i>-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки<i>O</i>по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму построенных векторов.

Из квадрата размером 3 на 3 вырезать одну фигуру, которая представляет развёртку полной поверхности куба, длина ребра которого равна 1.

Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.

Существуют ли целые числа <i>m</i> и <i>n</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>m</i>² + 1954 = <i>n</i>²?

Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="RIGHT"> ×</td> <td align="LEFT"> </td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT"> </td> <td...