Олимпиадные задачи из источника «1959 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями
Даны<i>n</i>комплексных чисел<i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>2</sub>,...,<i>C</i><sub>n</sub>, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника. Доказать, что если комплексное число<i>z</i>обладает тем свойством, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0, </div>то точка плоскости, соответствующая<i>z</i>, лежит внутри этого<i>n</i>-угольника.
В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)
<i>n</i>отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2<i>n</i>-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2<i>n</i>-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.
Даны сто чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>,..., <i>x</i><sub>100</sub>, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей <i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> – <i>x<sub>k</sub></i> меньше <sup>1</sup>/<sub>50</sub> каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.
Дана невозрастающая последовательность чисел <sup>1</sup>/<sub>2<i>k</i></sub> = <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ ... > 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> + ... = 1.
Доказать, что найдутся <i>k</i> чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.
Дан квадрат со стороной 1. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.
Можно ли расположить все трёхзначные числа, не оканчивающиеся нулями, в последовательности так, чтобы последняя цифра каждого числа была равна первой цифре следующего за ним?