Олимпиадные задачи из источника «1959 год» для 8 класса - сложность 1-2 с решениями
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.
Имеется два набора чисел <i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > ... > <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub> > <i>b</i><sub>2</sub> > ... > <i>b<sub>n</sub></i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>n</sub> > a</i><sub>1</sub><i>b<sub>n</sub> + a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>n</i>–1</sub> + ... + <i>a&...
Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?
Доказать, что число2<sup>2<sup>1959</sup></sup>– 1 делится на 3.
Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— целые числа. Напишем число<i>b</i>справа от числа<i>a</i>. Если число<i>a</i>чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число<i>a</i><sub>1</sub>напишем под числом<i>a</i>. Справа от числа<i>a</i><sub>1</sub>напишем число 2<i>b</i>. С числом<i>a</i><sub>1</sub>проделаем ту же операцию, что и с числом<i>a</i>, и, получив число<i>a</i><sub>2</sub>, напишем его под числом<i>a</i><sub>1</sub>. Справа от числа<i>a</i><sub>2</sub>напишем число 4<i>b&l...