Олимпиадные задачи из источника «1962 год» для 10 класса

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.

Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

Даны 2ⁿконечных последовательностей из нулей и единиц, причём ни одна из них не является началом никакой другой. Доказать, что сумма длин этих последовательностей не меньше<i>n</i>^.2ⁿ.

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние<i>d</i>= 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2<i>n</i>  в последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_2<i>n</i>,  чтобы сумма  |<i>a</i>₁ – <i>a</i>₂| + |<i>a</i>₂ – <i>a</i>₃| + ... + |<i>a</i>_{2<i>n</i>–1} – <i>a</i>_2<i>n</i>| + |<i>a</i>_2<i>n</i> – <i>a</i>₁|  была наибольшей?

Школьник в течение учебного года должен решать ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время, необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется в течение дня, но меняется в течение учебного года по известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут. Школьник хочет затратить на решение задач в общей сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую неделю) решать по 25 задач.

Две окружности<i>O</i>₁и<i>O</i>₂пересекаются в точках<i>M</i>и<i>P</i>. Обозначим через<i>MA</i>хорду окружности<i>O</i>₁, касающуюся окружности<i>O</i>₂в точке<i>M</i>, а через<i>MB</i>— хорду окружности<i>O</i>₂, касающуюся окружности<i>O</i>₁в точке<i>M</i>. На прямой<i>MP</i>отложен отрезок<i>PH</i>=<i>MP</i>. Доказать, что четырёхугольник<i>MAHB</i>можно вписать в окружность.

Из чисел<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x</i>₃,<i>x</i>₄,<i>x</i>₅можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀. Доказать, что зная числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀(но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x...

В окружность вписан неправильный <i>n</i>-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол  α ≠ 2π   совмещается сам с собой. Доказать, что <i>n</i> – число составное.

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₉₆₂, чтобы сумма  |<i>a</i>₁ – <i>a</i>₂| + |<i>a</i>₂ – <i>a</i>₃| + ... + |<i>a</i>₁₉₆₁ – <i>a</i>₁₉₆₂| + |<i>a</i>₁₉₆₂ – <i>a</i>₁|  была наибольшей?

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2<i>n</i>-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,<i>a</i>_n=<i>a</i>_{n - 1}+<i>a</i>_{n - 2},....

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

Даны два пересекающихся луча<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна.

Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 1962.

Дана система уравнений:

    <img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">

Какие значения может принимать <i>x</i>₂₅?

<i>Конём</i> называется фигура, ход которой состоит в перемещении на <i>n</i> клеток по горизонтали и на 1 по вертикали (или наоборот). Конь стоит на некотором поле бесконечной шахматной доски. При каких <i>n</i> он может попасть на любое заданное поле?

Даны два пересекающихся отрезка<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78284">задачей 1 для 10 класса</a>).

Доказать, что для любого целого<i>d</i>найдутся такие целые<i>m</i>,<i>n</i>, что<div align="CENTER"> <i>d</i> = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$. </div>

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>правильного треугольника<i>ABC</i>найти такие точки<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми<i>CX</i>,<i>BZ</i>,<i>AY</i>, была вчетверо меньше площади треугольника<i>ABC</i>и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$