Олимпиадные задачи из источника «1968 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Рассматривается система уравнений:
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78686/problem_78686_img_2.gif">
Докажите, что при некоторых <i>k</i> такая система имеет решение.
Дано натуральное число <i>N</i>. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом <i>N</i><sub>1</sub> проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из <i>N</i> можно получить однозначное число.
Две прямые на плоскости пересекаются под углом$\alpha$. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол$\alpha$измеряется рациональным числом градусов.
В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые,<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>,<i>l</i><sub>3</sub>,<i>l</i><sub>4</sub>, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость<i>P</i>так, чтобы точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,<i>A</i><sub>4</sub>пересечения этих прямых с<i>P</i>образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?
Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число <i>m</i> получается из числа <i>n</i> вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и <i>m</i>, и <i>n</i> принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?
Существует ли четырёхугольник<i>ABCD</i>площади 1 такой, что для любой точки<i>O</i>внутри него площадь хотя бы одного из треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCD</i>,<i>DOA</i>иррациональна.