Олимпиадные задачи из источника «1978 год» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями
Дано 8 действительных чисел: <i>a, b, c, d, e, f, g, h</i>. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел <i>ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh</i> неотрицательно.
У белой сферы 12% её площади окрашено в красный цвет. Доказать, что в сферу можно вписать параллелепипед, у которого все вершины белые.
На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости найдётся точка<i>A</i>, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных прямых.
Найти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению 3·2<sup><i>x</i></sup> + 1 = <i>y</i>².