Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 4-5 с решениями

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы. а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна? б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2. в) Докажите, что для любого числа <i>s</i>>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей <i>s</i>.

Для заданных натуральных чисел <i>k₀</i><<i>k₁</i><<i>k₂</i> выясните, какое наименьшее число корней на промежутке <nobr>[0; 2π)</nobr> может иметь уравнение вида sin<i>(k₀x</i>)+<i>A₁</i>·sin(<i>k₁x</i>) +<i>A₂</i>·sin(<i>k₂x</i>)=0где<i>A₁</i>,<i>A₂</i>– вещественные числа.

Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?