Олимпиадные задачи из источника «2009 год» для 8-10 класса - сложность 2-3 с решениями
Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?
Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>
h</i>(<i>t</i>)<i>=at<sup>2</sup>+bt+c,
</i></center> а в момент<i> t<sub>0</sub> </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=h'</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Докажите, что при любых натуральных 0 <<i>k</i><<i>m < n</i> числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif"> не взаимно просты.
На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?
Квадрат разрезали на конечное число прямоугольников. Обязательно ли найдётся отрезок, соединяющий центры (точки пересечения диагоналей) двух прямоугольников, не имеющий общих точек ни с какими другими прямоугольниками, кроме этих двух?
Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел<i>a</i><sub>1</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?
Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия – натуральное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счет пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счет Федя, если известно, что комиссия менее 30%?
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/111915/problem_111915_img_2.gif"></div>Угол <i>B</i> при вершине равнобедренного треугольника <i>ABC</i> равен 120°. Из вершины <i>B</i> выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, попали на боковые стороны в точки <i>M</i> и <i>N</i> (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника <i>PBQ</i> равна сумме площадей треугольников <i>AMP</i> и <i>CNQ</i>.
Назовём последовательность натуральных чисел <i>интересной</i>, если каждый её член, кроме первого, является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних с ним членов. Сеня начал последовательность с трёх натуральных чисел, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Он хотел бы продолжить свою последовательность до бесконечной интересной последовательности, которая ни с какого момента не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.
Может ли оказаться, что этого нельзя сделать?
Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 2 : 1.
После урока на доске остался график функции <i>y = <sup>k</sup>/<sub>x</sub></i> и пять прямых, параллельных прямой <i>y = kx</i> (<i>k</i> ≠ 0).
Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.
Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?
Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника (например, как на рис.). Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.) <div align="center"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111909/problem_111909_img_2.gif"> </div>
В каждой клетке квадрата 101<i>×</i>101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?
Известно, что квадратные уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 и <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0 (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.
Найдите его.
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой <i>CK = BC</i>. Отрезок <i>CK</i> пересекает биссектрису <i>AL</i> в её середине.
Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
На доске написано:
<i>В этом предложении ... процентов цифр делятся на 2, ... процентов цифр делятся на 3, а ... процентов цифр делятся и на 2 и на 3. </i>
Вставьте вместо многоточий какие-нибудь целые числа так, чтобы написанное на доске утверждение стало верным.