Олимпиадные задачи из источника «2017 год» для 2-11 класса - сложность 1-2 с решениями
В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
Даны две непостоянные прогрессии (<i>a<sub>n</sub></i>) и (<i>b<sub>n</sub></i>), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> = <i>b</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> : <i>b</i><sub>2</sub> = 2 и
<i>a</i><sub>4</sub> : <i>b</i><sub>4</sub> = 8. Чему может быть равно отношение <i>a</i><sub>3</sub> : <i>b</i><sub>3</sub>?
На вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, касающейся стороны <i>AC</i> в точке <i>S</i>, нашлась такая точка <i>Q</i>, что середины отрезков <i>AQ</i> и <i>QC</i> также лежат на вписанной окружности. Докажите, что <i>QS</i> – биссектриса угла <i>AQC</i>.
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?
Квадратный трёхчлен <i>x</i>² + <i>bx + c</i> имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов увеличили на 1.
Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на 1?
Найдите все такие пары натуральных чисел <i>a</i> и <i>k</i>, что для всякого натурального <i>n</i>, взаимно простого c <i>a</i>, число <i>a</i><sup><i>k<sup>n</sup></i>+1</sup> – 1 делится на <i>n</i>.
Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру.
По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?
На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Замените в выражении <i>AB<sup>C</sup> = DE<sup>F</sup></i> буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным, использовав каждую цифру от 1 до 6 ровно один раз.
(<i>AB<sup>C</sup></i> – двузначное число из цифр <i>A</i> и <i>B</i>, возведённое в степень <i>C</i>. Достаточно привести один способ замены.)