Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 2-3 с решениями

Найдите все простые числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, для которых выполняется равенство:  <i>p + q</i> = (<i>p – q</i>)^<i>r</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  ∠<i>ВАС</i> = 20°,  ∠<i>ВСА</i> = 35°,  ∠<i>ВDС</i> = 40°,  ∠<i>ВDА</i> = 70°.

Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Для различных положительных чисел <i>а</i> и <i>b</i> выполняется равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116018/problem_116018_img_2.png">.  Докажите, что <i>а</i> и <i>b</i> – взаимно обратные числа.

Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?

Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, при котором число  <i>А = n</i>³ + 12<i>n</i>² + 15<i>n</i> + 180  делится на 23.

В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 45°, <i>АМ</i> и <i>CN</i> – высоты, <i>О</i> – центр описанной окружности, <i>Н</i> – ортоцентр.

Докажите, что <i>ОNHМ</i> – параллелограмм.

Известно, что  5(<i>а</i> – 1) = <i>b + a</i>².  Сравните числа <i>а</i> и <i>b</i>.

Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?