Олимпиадные задачи из источника «2014/2015» для 9 класса
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
На стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на её продолжении) взята точка <i>M</i>, для которой ∠<i>MAD</i> = ∠<i>AMO</i>, где <i>O</i> – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что <i>MD = MC</i>.
Прямоугольный параллелепипед размером <i>m</i>×<i>n</i>×<i>k</i> разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?
Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?
Найдите все натуральные <i>n</i> > 2, для которых многочлен <i>x<sup>n</sup> + x</i>² + 1 делится на многочлен <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.
Решите в целых числах уравнение (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 16<i>y</i> + 1.
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>АВС</i>. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники <i>АВ</i><sub>1</sub><i>С</i> и <i>ВА</i><sub>1</sub><i>С</i> с одинаковыми углами α при их основаниях <i>АС</i> и <i>ВС</i>. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>С</i> к отрезку <i>А</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub> пересекает серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> в точке <i>С</i><sub>1</sub>. Найдите угол <i>АС</i><sub>1</sub><i>В</i>.
В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, <i>АС = а, BD = b, AB</i> ⊥ <i>CD</i>. Найдите радиус окружности.
Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.
Может ли полученное девятизначное число быть простым?
Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.
Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
Три числа <i>x, y</i> и <i>z</i> отличны от нуля и таковы, что <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>yz</i> и <i>y</i>² – <i>z</i>² = <i>xz</i>. Докажите, что <i>x</i>² – <i>z</i>² = <i>xy</i>.
На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>BF</i> = 2<i>CF, CE</i> = 2<i>AE</i> и угол <i>DEF</i> – прямой.
Докажите, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADF</i>.
Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?
В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?
Бумажный прямоугольный треугольник <i>АВС</i> перегнули по прямой так, что вершина <i>С</i> прямого угла совместилась с вершиной <i>В</i> и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?
Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .
По окончании шахматного турнира Незнайка сказал: "Я набрал на 3,5 очка больше, чем потерял". Могут ли его слова быть правдой?
(Победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0.)
В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> проведена высота <i>СН</i> из вершины прямого угла. Из вершины <i>В</i> большего острого угла проведён отрезок <i>BK</i> так, что ∠<i>CBK</i> = ∠<i>CАB</i> (см. рис.). Докажите, что <i>СН</i> делит <i>BK</i> пополам. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64991/problem_64991_img_2.gif"></div>
Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?
Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.
Найдите сумму площадей этих кругов.
В равенстве <i>х</i><sup>5</sup> + 2<i>x</i> + 3 = <i>p<sup>k</sup></i> числа <i>х</i> и <i>k</i> – натуральные. Может ли число <i>р</i> быть простым?
На столе выложены в ряд 64 гирьки, причём масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся?