Олимпиадные задачи из источника «2014/2015» для 1-9 класса
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
На стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на её продолжении) взята точка <i>M</i>, для которой ∠<i>MAD</i> = ∠<i>AMO</i>, где <i>O</i> – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что <i>MD = MC</i>.
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана такая точка <i>D</i>, что <i>BD = BC</i>, а на катете <i>BC</i> – такая точка <i>E</i>, что <i>DE = BE</i>.
Докажите, что <i>AD + CE = DE</i>.
На листе бумаги были построены система координат (выделена жирно) и графики трёх функций: <i>y = ax + b, y = bx + c</i> и <i>y = cx + a</i>. После этого стёрли обозначения и направления осей, а сам лист как-то повернули (см. рисунок). Укажите на рисунке ось абсцисс и ее направление.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65221/problem_65221_img_2.gif"></div>
На сторонах угла <i>ABC</i> отмечены точки <i>М</i> и <i>K</i> так, что углы <i>BMC</i> и <i>BKA</i> равны, <i>BM = BK, AB</i> = 15, <i>BK</i> = 8, <i>CM</i> = 9.
Найдите периметр треугольника <i>СOK</i>, где <i>O</i> – точка пересечения прямых <i>AK</i> и <i>СМ</i>.
Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.
Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?
В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен α. Через час он опять равен α. Найдите все возможные значения α.
Банк "Империал" при снятии денег со счета берет комиссию, состоящую из двух частей: фиксированной оплаты за проведение операции и еще оплаты, пропорциональной снятой сумме. Например, при снятии со счета 5000 рублей вкладчик заплатит 110 рублей, а при снятии 11000 рублей заплатит 230 рублей. Какую комиссию заплатит вкладчик, если он захочет снять со счета 8000 рублей?
Можно ли разрезать квадрат 5×5 на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> биссектрисы <i>АЕ</i> и <i>СF</i> углов <i>A</i> и <i>C</i> параллельны (см. рисунок). Докажите, что углы <i>B</i> и <i>D</i> равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65213/problem_65213_img_2.gif"></div>
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
Прямоугольный параллелепипед размером <i>m</i>×<i>n</i>×<i>k</i> разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?
Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?
Найдите все натуральные <i>n</i> > 2, для которых многочлен <i>x<sup>n</sup> + x</i>² + 1 делится на многочлен <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.
Решите в целых числах уравнение (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 16<i>y</i> + 1.
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>АВС</i>. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники <i>АВ</i><sub>1</sub><i>С</i> и <i>ВА</i><sub>1</sub><i>С</i> с одинаковыми углами α при их основаниях <i>АС</i> и <i>ВС</i>. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>С</i> к отрезку <i>А</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub> пересекает серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> в точке <i>С</i><sub>1</sub>. Найдите угол <i>АС</i><sub>1</sub><i>В</i>.
В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, <i>АС = а, BD = b, AB</i> ⊥ <i>CD</i>. Найдите радиус окружности.
Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.
Может ли полученное девятизначное число быть простым?
Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.
Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
Три числа <i>x, y</i> и <i>z</i> отличны от нуля и таковы, что <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>yz</i> и <i>y</i>² – <i>z</i>² = <i>xz</i>. Докажите, что <i>x</i>² – <i>z</i>² = <i>xy</i>.