Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Трое играют в настольный теннис на "вылет", то есть игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге Никанор сыграл 10 партий, Филимон – 15, а Агафон – 17. Кто из них проиграл во второй партии?

На доске был изображен пятиугольник, вписанный в окружность. Маша измерила его углы и у нее получилось, что они равны 80°, 90°, 100°, 130° и 140° (именно в таком порядке). Не ошиблась ли Маша?

Существует ли такое <i>x</i>, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64834/problem_64834_img_2.gif"> ?

В строку выписаны 40 знаков: 20 крестиков и 20 ноликов. За один ход можно поменять местами любые два соседних знака. За какое наименьшее количество ходов можно гарантированно добиться того, чтобы какие-то 20 стоящих подряд знаков оказались крестиками?

В треугольнике <i>АВС</i> проведены высота <i>ВН</i>, медиана <i>ВВ</i>₁ и средняя линия <i>А</i>₁<i>С</i>₁ (<i>А</i>₁ лежит на стороне <i>ВС, С</i>₁ – на стороне <i>АВ</i>). Прямые <i>А</i>₁<i>С</i>₁ и <i>ВВ</i>₁ пересекаются в точке <i>М</i>, а прямые <i>С</i>₁<i>В</i>₁ и <i>А</i>₁<i>Н</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что прямые <i&gt...

Докажите, что для положительных значений <i>а, b</i> и <i>c</i> выполняется неравенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64831/problem_64831_img_2.gif"> ≤ <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64831/problem_64831_img_3.gif">.

Петя нашел сумму всех нечётных делителей некоторого чётного числа (включая 1), а Вася – сумму всех чётных делителей этого же числа (включая само число). Может ли произведение двух найденных чисел быть точным квадратом?

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>  ∠<i>A</i> = ∠<i>В</i> = 60°  и  ∠<i>СAВ</i> = ∠<i>CBD</i>.  Докажите, что  <i>AD + CB = AB</i>.

Известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64828/problem_64828_img_2.gif">.  Какие значения может принимать выражение  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64828/problem_64828_img_3.gif">?

Остаток от деления натурального числа <i>Х</i> на 26 равен неполному частному, остаток от деления <i>Х</i> на 29 также равен неполному частному.

Найдите все такие <i>Х</i>.

Точка <i>D</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i>,  ∠<i>ВАС</i> = 35°.  Точка <i>B</i>₁ симметрична точке <i>B</i> относительно прямой <i>СD</i>.

Найдите угол <i>AB</i>₁<i>C</i>.

Марья Петровна идет по дороге со скоростью 4 км/ч. Увидев пенёк, она садится на него и отдыхает одно и то же целое число минут. Михаил Потапович идёт по той же дороге со скоростью 5 км/ч, зато сидит на каждом пеньке в два раза дольше чем Марья Петровна. Вышли и пришли они одновременно. Длина дороги – 11 км. Сколько на ней могло быть пеньков?

Три пирата нашли клад, состоящий из 240 золотых слитков общей стоимостью 360 долларов. Стоимость каждого слитка известна и выражается целым числом долларов. Может ли оказаться так, что добычу нельзя разделить между пиратами поровну, не переплавляя слитки?

Из четырёх палочек сложен контур параллелограмма. Обязательно ли из них можно сложить контур треугольника (одна из сторон треугольника складывается из двух палочек)?

Решите уравнение:  <i>x</i>(<i>x</i> + 1) = 2014·2015.