Олимпиадные задачи из источника «2014/2015» - сложность 1 с решениями
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
На сторонах угла <i>ABC</i> отмечены точки <i>М</i> и <i>K</i> так, что углы <i>BMC</i> и <i>BKA</i> равны, <i>BM = BK, AB</i> = 15, <i>BK</i> = 8, <i>CM</i> = 9.
Найдите периметр треугольника <i>СOK</i>, где <i>O</i> – точка пересечения прямых <i>AK</i> и <i>СМ</i>.
Можно ли разрезать квадрат 5×5 на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> биссектрисы <i>АЕ</i> и <i>СF</i> углов <i>A</i> и <i>C</i> параллельны (см. рисунок). Докажите, что углы <i>B</i> и <i>D</i> равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65213/problem_65213_img_2.gif"></div>
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> проведена высота <i>СН</i> из вершины прямого угла. Из вершины <i>В</i> большего острого угла проведён отрезок <i>BK</i> так, что ∠<i>CBK</i> = ∠<i>CАB</i> (см. рис.). Докажите, что <i>СН</i> делит <i>BK</i> пополам. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64991/problem_64991_img_2.gif"></div>
Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?
Числовая функция <i>f</i> такова, что для любых <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство <i>f</i>(<i>x + y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>) + 80<i>xy</i>. Найдите <i>f</i>(1), если <i>f</i>(0,25) = 2.
Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?
Существует ли такое <i>x</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64834/problem_64834_img_2.gif"> ?
Решите уравнение: <i>x</i>(<i>x</i> + 1) = 2014·2015.