Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Рассматриваются все призмы, в основании которых лежит выпуклый 2015-угольник.

Какое наибольшее количество рёбер такой призмы может пересечь плоскость, не проходящая через её вершины?

Сумма девяти различных натуральных чисел равна 200. Всегда ли можно выбрать из них четыре числа так, чтобы их сумма была больше чем 100?

Решите систему уравнений:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/65486/problem_65486_img_2.png">.

У натурального числа <i>n</i> есть такие два различных делителя <i>а</i> и <i>b</i>, что  (<i>а</i> – 1)(<i>b</i> + 2) = <i>n</i> – 2.

Докажите, что число 2<i>n</i> является квадратом натурального числа.

Четырёхугольник <i>АВСD</i> вписан в окружность, <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABD</i>.

Найдите наименьшее значение <i>BD</i>, если  <i>AI = BC = CD</i> = 2.

Алгебраисты придумали новую операцию ❆, которая удовлетворяет условиям:  <i>а</i> ❆ <i>а</i> = 0  и  <i>а</i> ❆ (<i>b</i> ❆ <i>c</i>) = (<i>a</i> ❆ <i>b</i>) + <i>c</i>.  Вычислите  2015 ❆ 2014.  (Знак "+" определяет сложение в обычном смысле, скобки показывают порядок действий.)

На плоскости проведены <i>n</i> прямых так, что каждые две пересекаются, но никакие четыре через одну точку не проходят. Всего имеются 16 точек пересечения, причём через 6 из них проходят по три прямые. Найдите <i>n</i>.

На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> правильного треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно.

Докажите, что из отрезков <i>AX, BY</i> и <i>XY</i> можно составить треугольник.

Решите уравнение  2 sin ^π<i>x</i>/₂ – 2 cos π<i>x = x</i>⁵ + 10<i>x</i> – 54.

Решите в натуральных числах уравнение:  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + 1 = 3<i>xy</i>.

Около единичного квадрата <i>ABCD</i> описана окружность, на которой выбрана точка <i>М</i>.

Какое наибольшее значение может принимать произведение <i>MA·MB·MC·MD</i>?

У многочленов <i>Р</i>(<i>х</i>) и <i>Q</i>(<i>х</i>) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).

Докажите, что разность  <i>Р</i>(2015) – <i>Q</i>(2015)  кратна 1007.

Натуральные числа <i>A</i> и <i>B</i> делятся на все натуральные числа от 1 до 65. На какое наименьшее натуральное число может не делиться число  <i>A + B</i>?

В параллелограмме <i>АВСD</i> точка <i>Е</i> – середина стороны <i>AD</i>, точка <i>F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>В</i> на прямую <i>СЕ</i>.

Найдите площадь треугольника <i>ABF</i>, если  <i>АВ = а</i>,  ∠<i>ВАF</i> = α.

Найдите ближайшее целое число к числу <i>x</i>, если  <i>x</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65474/problem_65474_img_2.png">.