Олимпиадные задачи из источника «2017/2018»

Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.

На наибольшей стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что  <i>AQ = AC,  BP = BC</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>PQC</i> совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дима пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... .

На каких местах, считая от начала, в первый раз будут стоять три цифры 5 подряд?

Может ли квадрат являться развёрткой некоторой треугольной пирамиды?

Найдите наименьшее значение выражения <i>а</i>⁴ – <i>а</i>² – 2<i>а</i>.

Есть 2018 гирек массами 1 г, 2 г, ..., 2018 г. Заяц положил на одну чашу весов две гирьки. Волк хотел двумя другими гирьками на другой чаше их уравновесить, но не смог. Какие гирьки мог взять Заяц?

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>K</i> соответственно, а на стороне <i>AC</i> отмечены точки <i>E</i> и <i>M</i> так, что <i>DA + AE = KC + CM = AB</i>. Отрезки <i>DM</i> и <i>KE</i> пересекаются. Найдите угол между ними.

Существует ли четырёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше их произведения?

В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> биссектриса <i>AN</i>, высота <i>BH</i> и прямая, перпендикулярная стороне <i>АВ</i> и проходящая через ее середину, пересекаются в одной точке. Найдите угол <i>ВАС</i>.

Можно ли представить число <img align="middle" src="/storage/problem-media/66420/problem_66420_img_2.png"> в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

В коробке лежат фрукты (не менее пяти). Если вытащить наугад три фрукта, то среди них обязательно найдется яблоко. Если вытащить наугад четыре фрукта, то среди них обязательно найдется груша. Какие фрукты могут быть вытащены и в каком количестве, если взять наугад пять фруктов?

Прямоугольник разбили двумя прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника. Один из них оказался квадратом, а периметры прямоугольников, соседних с ним, равны 20 см и 16 см. Найдите площадь исходного прямоугольника.

Сравните <img align="middle" src="/storage/problem-media/66417/problem_66417_img_2.png"> и <img align="middle" src="/storage/problem-media/66417/problem_66417_img_3.png">.

Простым или составным является число 200² – 399?

Незнайка утверждает, что он может провести на плоскости 4 прямые так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось пяти и 5 прямых так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось четырем. Прав ли он?

Вася получил список книг на летние каникулы (12 недель). Он поставил себе цель их прочитать и решил, что каждую неделю он будет читать одно и то же количество книг. Но каждую неделю Вася читал на одну книгу меньше запланированного, поэтому выполнил свой план на 3 недели позже, чем хотел. На сколько недель раньше срока Вася прочитал бы весь список, если бы каждую неделю читал на одну книгу больше, чем планировал?

В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные цифры – разными буквами). Оказалось, что ДЕВЯНОСТО делится на 90, а ДЕВЯТКА делится на 9. Может ли СОТКА делиться на 9?

На гипотенузе <i>AВ</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точку <i>D</i> так, что <i>ВD = AС</i>. Докажите, что в треугольнике <i>AСD</i> биссектриса <i>AL</i>, медиана <i>СM</i> и высота <i>DH</i> пересекаются в одной точке.

При каких целых значениях <i>m</i> число <i>Р</i> = 1 + 2<i>m</i> + 3<i>m</i>² + 4<i>m</i>³ + 5<i>m</i>⁴ + 4<i>m</i>⁵ + 3<i>m</i>⁶ + 2<i>m</i>⁷ + <i>m</i>⁸ является квадратом целого числа?

Можно ли заполнить таблицу 3×3 различными натуральными числами так, чтобы суммы в строках были равны между собой и произведения в столбцах также были равны между собой (но суммы не обязаны равняться произведениям).

На стороне <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечена точка <i>K</i>, а на стороне <i>BC</i> – точка <i>L</i> так, что <i>KB = LC</i>. Отрезки <i>AL</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что отрезки <i>DP</i> и <i>KL</i> перпендикулярны.

Игорь записал на каждой из трёх карточек по одной цифре, отличной от нуля. Катя составила из них все возможные трёхзначные числа. Может ли сумма этих чисел равняться 2018?

Про четырехугольник известно, что существуют две прямые, каждая из которых разбивает его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Обязательно ли он является квадратом?

Сравните<img align="middle" src="/storage/problem-media/66366/problem_66366_img_2.png">и<img align="middle" src="/storage/problem-media/66366/problem_66366_img_3.png">.

Можно ли раздать шести детям 40 конфет так, чтобы у всех было разное количество конфет и у каждых двух вместе было менее половины всех конфет?