Олимпиадные задачи из источника «8-9 класс»

Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i> взята такая точка <i>M</i>, что угол <i>MAB</i> на 15&deg больше угла <i>MAC</i>, а угол <i>MCB</i> на 15&deg больше угла <i>MBC</i>. Найдите угол <i>BMC</i>.

Отрезок <i>AD</i> – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Через точку <i>H</i> пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне <i>BC</i>, которая пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно.

Докажите, что периметр треугольника <i>DEF</i> в два раза больше стороны <i>BC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>BC</i> пересекают сторону <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, причём точка <i>P</i> лежит на отрезке <i>AQ</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>PBC</i> и <i>QBA</i> пересекаются на биссектрисе угла <i>PBQ</i>.

Существует ли выпуклый пятиугольник, в котором каждая диагональ равна какой-то стороне?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>M</i> так, что  <i>AD = DM</i>.  На стороне <i>AD</i> взята точка <i>N</i> так, что  <i>AB = BN</i>.

Докажите, что  <i>CM = CN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 45°,  <i>BH</i> – высота, точка <i>K</i> лежит на стороне <i>AC</i>, причём  <i>BC = CK</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABK</i> совпадает с центром вневписанной окружности треугольника <i>BCH</i>.