Олимпиадные задачи из источника «14 (2016 год)» - сложность 3-4 с решениями

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>A'</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>BC, O_A</i> – центр окружности, проходящей через <i>A</i> и середины отрезков <i>A'B</i> и <i>A'C</i>. Точки <i>O_B</i> и <i>O_C</i> определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников <i>ABC</i> и <i>O_AO_BO_C</i>.

Из точки <i>A</i> к окружности ω проведена касательная <i>AD</i> и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> (<i>B</i> лежит между точками <i>A</i> и <i>C</i>). Докажите, что окружность, проходящая через точки <i>C</i> и <i>D</i> и касающаяся прямой <i>BD</i>, проходит через фиксированную точку (отличную от <i>D</i>).

В выпуклой <i>n</i>-угольной призме равны все боковые грани. При каких <i>n</i> эта призма обязательно прямая?

Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65649/problem_65649_img_2.png"></div>

Дан квадратный лист бумаги со стороной 2016. Можно ли, согнув его не более десяти раз, построить отрезок длины 1?

Точки <i>I_A, I_B, I_C</i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>I_A</i> на <i>AC</i>, пересекает перпендикуляр, опущенный из <i>I_B</i> на <i>BC</i>, в точке <i>X_C</i>. Аналогично определяются точки <i>X_A</i> и <i>X_B</i>. Докажите, что прямые <i>I_AX_A, I_BX_B&lt...

Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины гипотенузы <i>AB</i> и катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> соответственно. Вневписанная окружность треугольника <i>ACM</i> касается стороны <i>AM</i> в точке <i>Q</i>, а прямой <i>AC</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.