Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 1-5 с решениями

В выпуклом пятиугольнике<i> ABCDE </i><i> <img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> A=<img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> B=<img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> D=</i>90<i>^o </i>. Найдите угол<i> ADB </i>, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

<img align="right" src="/storage/problem-media/109460/problem_109460_img_2.gif">Дан набор одинаковых правильных пятиугольников, при вершинах каждого из которых записаны натуральные числа от 1 до 5, как показано на рисунке. Пятиугольники можно поворачивать и переворачивать. Их сложили в стопку (вершина к вершине), и оказалось, что при каждой из пяти вершин суммы чисел одинаковы. Сколько пятиугольников могло быть в этой стопке?

В выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i> выполняются равенства:  ∠<i>CBD</i> = ∠<i>CAB</i>  и  ∠<i>ACD</i> = ∠<i>ADB</i>.

Докажите, что из отрезков <i>BC, AD</i> и <i>AC</i> можно сложить прямоугольный треугольник.

Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал &frac15; общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал ¹/₇ часть от общего количества. Сколько было школьников?

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.

Можно ли подобрать такие числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, чтобы это были графики трёхчленов  <i>ax</i>² + <i>bx + c,  bx</i>² + <i>cx + a</i>  и  <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109457/problem_109457_img_2.gif"></div>

Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?