Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» - сложность 3-5 с решениями

Фигура Ф представляет собой пересечение <i>n</i> кругов  (<i>n</i> ≥ 2,  радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф?  (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.

Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

Взаимно перпендикулярные прямые <i>l</i> и <i>m</i> пересекаются в точке <i>P</i> окружности так, что они разбивают окружность на три дуги. Отметим на каждой дуге такую точку, что проведённая через неё касательная к окружности пересекается с прямыми <i>l</i> и <i>m</i> в точках равноотстоящих от точки касания. Докажите, что три отмеченные точки являются вершинами равностороннего треугольника.