Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Назада) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км? б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке). в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?
Клетки доски <i>m</i>×<i>n</i> покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.
Целые ненулевые числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> таковы, что равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98505/problem_98505_img_2.gif"></div>выполнено при всех целых значениях<i>x</i>, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части. a) Докажите, что число<i>n</i>чётно. б) При каком наименьшем<i>n</i>такие числа существуют?
Длины сторон треугольника <i>ABC</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> (<i>AB = c, BC = a, CA = b</i> и <i>a < b < c</i>). На лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> отмечены соответственно такие точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub>, что <i>BB</i><sub>1</sub> = <i>AA</i><sub>1</sub> = <i>c</i>. На лучах <i>CA</i> и <i>BA</i> отмечены соответственно такие точки <i>C</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, что <i>CC</i><sub>2</sub> = <i>BB</i><sub>2</sub> = <i>a</i&...
Для какого наибольшего <i>n</i> можно выбрать на поверхности куба <i>n</i> точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) <i>n</i>-угольника.
Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно <i>a + b + c + d</i>.
Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).