Олимпиадные задачи из источника «29 турнир (2007/2008 год)» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
29 турнир (2007/2008 год)
НазадКвадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника. Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит
а) 1 см; б) 1,01 см; в) 1,001 см?
Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю 29 карточек с номерами от 1 до 29. Зритель прячет две карточки, а остальные отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?
Дана прямая и две точки <i>A</i> и <i>B</i>, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от неё.
Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку <i>C</i>, что произведение <i>AC</i>·<i>BC</i> будет наименьшим?
На бумажке записаны три положительных числа <i>x, y</i> и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
a) число <i>x</i>²? б) число <i>xy</i>?
На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.
Даны две окружности и три прямые, каждая прямая высекает на окружностях хорды равной длины. Точки пересечения прямых образуют треугольник.
Докажите, что описанная окружность этого треугольника проходит через середину отрезка между центрами данных окружностей.
Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из 1000 цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек – белую или чёрную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
На числовой прямой в точке <i>P</i> сидит точечный кузнечик. Точки 0 и 1 – ловушки. На каждом ходу мы называем любое положительное число, после чего кузнечик прыгает влево или вправо (по своему выбору) на расстояние, равное этому числу. Для каких <i>P</i> можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)
Дана таблица (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64603/problem_64603_img_2.gif"></div>Можно в ней переставлять строки, а также столбцы (в любом порядке). Сколько различных таблиц можно получить таким образом из данной таблицы?
Даны выпуклый многоугольник и квадрат. Известно, что как ни расположи две копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая обеим копиям. Докажите, что как ни расположи три копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая всем трём копиям.
Может ли наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., <i>n</i> быть в 2008 раз больше, чем наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., <i>m</i>?
Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
a) синий кубик только один;
б) синих кубиков ровно <i>n</i>.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)
На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника <i>P</i> и <i>Q</i>. Для каждой стороны многоугольника <i>P</i> многоугольник <i>Q</i> можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через <i>h</i> расстояние между этими прямыми, а через <i>l</i> – длину стороны и вычислим произведение <i>lh</i>. Просуммировав такие произведения по всем сторонам <i>P</i>, получим некоторую величину (<i>P, Q</i>). Докажите, что (<i>P, Q</i>) = (<i>Q, P</i>).
Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд <i>N</i> одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до <i>N</i> и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для <i>N = a</i> и для <i>N = b</i>, то есть способ и для <i>N = ab</i>.
б) Найдите все значения <i>N</i>, для которых у фокусника...
Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид <sup>1</sup>/<sub><i>k</i></sub>, где <i>k</i> натуральное.
Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины соответственно сторон <i>AB, BC, CD, AD</i>.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников <i>PKL, PLM, PMN</i> и <i>PNK</i> равны.
Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд <i>N</i> одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до <i>N</i> и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для <i>N = k</i>, то есть способ и для <i>N</i> = 2<i>k</i>.
б) Найдите все значения <i>N</i>, для которых у фокусника с ассистентом е...
Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. <i>Моментом</i> гири называется произведение <i>ms</i> массы гири <i>m</i> на расстояние <i>s</i> он нее до середины отрезка.)