Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 3-10 класса - сложность 3 с решениями

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>; <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ – его высоты. Из точки <i>A</i>₁ опустили перпендикуляры на прямые <i>AC</i> и <i>AB</i>, а из точки <i>B</i>₁ опустили перпендикуляры на прямые <i>BC</i> и <i>BA</i>. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна <i>b</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.