Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс»

В стране 100 городов, между каждыми двумя городами осуществляется беспосадочный перелёт. Все рейсы платные и стоят положительное (возможно, нецелое) число тугриков. Для любой пары городов А и Б перелёт из А в Б стоит столько же, сколько перелёт из Б в А. Средняя стоимость перелёта равна 1 тугрику. Путешественник хочет облететь какие-нибудь <i>m</i> разных городов за <i>m</i> перелётов, начав и закончив в своём родном городе. Всегда ли ему удастся совершить такое путешествие, потратив на билеты не более <i>m</i> тугриков, если

  а)  <i>m</i> = 99;

  б)  <i>m</i> = 100?

На катетах <i>AC</i> и <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, а на гипотенузе <i>AB</i> – точку <i>M</i> так, что  <i>AK = BL = a,

KM = LM = b</i>  и угол <i>KML</i> прямой. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.

Из одинаковых неравнобедренных прямоугольных треугольников составили прямоугольник (без дырок и наложений).

Обязательно ли какие-то два из этих треугольников расположены так, что образуют прямоугольник?

Верно ли, что любое натуральное число можно умножить на одно из чисел 1, 2, 3, 4 или 5 так, чтобы результат начинался на цифру 1?