Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 3 с решениями
На доске написано <i>n</i> выражений вида *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0 (<i>n</i> – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3<i>n</i> ходов получится <i>n</i> квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) разрешается заменить на один из трёхчленов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_2.gif"> или <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_3.gif"> Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена <i>x</i>² + 4<i>x</i> + 3 получить трёхчлен <i>x</i>² + 10<i>x</i> + 9?
Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.
Назовем усреднением последовательности<i>a<sub>k</sub> </i>действительных чисел последовательность<i>a'<sub>k</sub> </i>с общим членом<i> a'<sub>k</sub>=<img src="/storage/problem-media/109520/problem_109520_img_2.gif"> </i>. Рассмотрим последовательности:<i>a<sub>k</sub> </i>,<i>a'<sub>k</sub> </i>– ее усреднение,<i>a''<sub>k</sub> </i>– усреднение последовательности<i>a'<sub>k</sub> </i>, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность<i>a<sub>k</sub> </i>– хорошая. Докажите, что если последователь...
Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на <i>n</i>² клеток со стороной 1. При каком наибольшем <i>n</i> можно отметить <i>n</i> клеток так, чтобы каждый прямоугольник площади не менее <i>n</i> со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?
Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?
Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.
Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.
Найдите все функции<i> f</i>(<i>x</i>), определенные при всех положительных<i> x </i>, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>равенству<i> f</i>(<i>x<sup>y</sup></i>)<i>=f</i>(<i>x</i>)<i><sup>f</sup></i>(<i>y</i>).