Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 8 класса - сложность 2-4 с решениями

На доске написаны два различных натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109683/problem_109683_img_2.gif">  (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т.д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.

Ювелир сделал незамкнутую цепочку из<i> N></i>3пронумерованных звеньев. Капризная заказчица потребовала изменить порядок звеньев в цепочке. Из вредности она заказала такую незамкнутую цепочку, чтобы ювелиру пришлось раскрыть как можно больше звеньев. Сколько звеньев придется раскрыть?

В треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB > BC</i>)  проведены медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>BL</i>. Прямая, проходящая через точку <i>M</i> параллельно <i>AB</i>, пересекает <i>BL</i> в точке <i>D</i>, а прямая, проходящая через <i>L</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает <i>BM</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что прямые <i>ED</i> и <i>BL</i> перпендикулярны.

На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём <i>временем перевода</i>. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

Обозначим<i> S</i>(<i>x</i>)сумму цифр числа<i> x </i>. Найдутся ли три таких натуральных числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>, что<i> S</i>(<i>a+b</i>)<i><</i>5,<i> S</i>(<i>a+c</i>)<i><</i>5и<i> S</i>(<i>b+c</i>)<i><</i>5, но<i> S</i>(<i>a+b+c</i>)<i>></i>50?

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

Угол, образованный лучами  <i>y = x</i>  и  <i>y</i> = 2<i>x</i>  при  <i>x</i> ≥ 0,  высекает на параболе  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось <i>Ox</i>. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

В каждую клетку квадратной таблицы размера  (2^<i>n</i> – 1)×(2^<i>n</i> – 1)  ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём <i>удачной</i>, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.

На множестве действительных чисел задана операция<i> * </i>, которая каждым двум числам<i> a </i>и<i> b </i>ставит в соответствие число<i> ab </i>. Известно, что равенство(<i>ab</i>)<i>c=a+b+c </i>выполняется для любых трех чисел<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>. Докажите, что<i> ab=a+b </i>.

Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из2<i>k </i>элементов (<i> k </i>– фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из(<i>k+</i>1)<i>² </i>элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?