Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 2-3 с решениями
На доску последовательно выписываются числа <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... по следующим правилам: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> – 2, если число <i>a<sub>n</sub></i> – 2 – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> + 3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.
Таня задумала натуральное число <i>X</i> ≤ 100, а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел <i>M</i> и <i>N</i>, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель <i>X + M</i> и <i>N</i>?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.
Различные числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что уравнения <i>x</i>² + <i>ax</i> + 1 = 0 и <i>x</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения <i>x</i>² + <i>x + a</i> = 0 и <i>x</i>² + <i>cx + b</i> = 0. Найдите сумму <i>a + b + c</i>.
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> и спросить, верно ли, что
<i>m</i>(<i>A</i>) < <i>m</i>(<i>B</i>) < <i>m</i>(<i>C</i>) (через <i>m</i>(<i>x</i>) обозначена масса гири <i>x</i>). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?
Пусть –1 < <i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < ... < <i>x<sub>n</sub></i> < 1 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_2.gif">
Докажите, что если <i>y</i><sub>1</sub> < <i>y</i><sub>2</sub> < ... < <i>y<sub>n</sub></i>, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_3.gif">
Найдите сумму <center> <img src="/storage/problem-media/109715/problem_109715_img_2.gif">
</center>
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Докажите неравенство sin<sup><i>n</i></sup>2<i>x</i> + (sin<i><sup>n</sup>x</i> – cos<i><sup>n</sup>x</i>)² ≤ 1.
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке <i>a, b, c</i>, для которой <i>a</i> + 99<i>b = c</i>, нашлись два числа из одного подмножества.
Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i>...
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла между высотами <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> с серединой <i>M</i> стороны <i>AC</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>P, B, Q</i> и <i>R</i> лежат на одной окружности.
На медиане <i>CD</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>E</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>B</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>CMN</i> касается окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> с центром <i>K</i> проходит через точки <i>A, O</i> и <i>C</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что точки <i>L</i> и <i>K</i> симметричны относительно прямой <i>MN</i>. Докажите, что <i>BL</i> ⊥ <i>AC</i>.
Пусть <i>M</i> – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит <i>M</i>.
Какое наибольшее число элементов может быть в <i>M</i>?