Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями
В неравнобедренном остроугольном треугольнике <i>ABC</i> точки <i>C</i><sub>0</sub> и <i>B</i><sub>0</sub> – середины сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – точка пересечения высот. Прямые <i>BH</i> и <i>OC</i><sub>0</sub> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>CH</i> и <i>OB</i><sub>0</sub> – в точке <i>Q</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>OPHQ</i> – ромб. Докажите, что точки <i>A, P</i> и <i>Q</i> лежат на одной прямой.
На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.
Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?
Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 3)(<i>n</i> + 4) будет целым.
Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений <i>ax</i><sup>11</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0, <i>bx</i><sup>11</sup> + <i>cx</i><sup>4</sup> + <i>a</i> = 0, <i>cx</i><sup>11</sup> + <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>b</i> = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Даны различные натуральные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>14</sub>. На доску выписаны все 196 чисел вида <i>a<sub>k</sub></i> + <i>a<sub>l</sub></i>, где 1 ≤ <i>k</i>, <i>l</i> ≤ 14. Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?
На стороне <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что ∠<i>ABM</i> = ∠<i>CBK</i>.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABM, ABK, CBM</i> и <i>CBK</i> лежат на одной окружности.
Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.
Прямую палку длиной 2 метра распилили на <i>N</i> палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем <i>N</i> можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?
Найдите все такие тройки простых чисел <i>p, q, r</i>, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их <i>A, B</i> и <i>C</i>, после чего на плоскости отмечалась точка <i>D</i>, симметричная <i>A</i> относительно серединного перпендикуляра к <i>BC</i>. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.
Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 4) будет целым.
Даны положительные числа <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>. Докажите неравенство <img align="middle" src="/storage/problem-media/116543/problem_116543_img_2.gif">
Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей.