Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Положительные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> удовлетворяют условию <i>xyz ≥ xy + yz + zx</i>. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65705/problem_65705_img_2.png">
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?
На стороне <i>AB</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> (точка<i>K</i> лежит между <i>A</i> и <i>L</i>), а на стороне <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> (точка <i>M</i> между <i>C</i> и <i>N</i>). Известно, что <i>AK = KN = DN</i> и <i>BL = BC = CM</i>. Докажите, что если <i>BCNK</i> – вписанный четырёхугольник, то и <i>ADML</i> тоже вписан.
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC, AB = BC</i>. В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C'</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>C'P</i>.
Даны квадратные трёхчлены <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f</i><sub>100</sub>(<i>x</i>) с одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>², одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена <i>f<sub>i</sub></i>(<i>x</i>) выбрали один корень и обозначили его через <i>x<sub>i</sub></i>. Какие значения может принимать сумма <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i><sub>1</sub>) + <i>f</i><sub>3</sub>(<i>x</i><sub>...