Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3-5 с решениями

Докажите, что для любого  <i>k</i> > 1  найдётся такая степень двойки, что среди <i>k</i> последних её цифр не менее половины составляют девятки.

(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции<i>y</i>=<i>x</i>⁴, опускают вишенку — шар радиуса<i>r</i>. При каком наибольшем<i>r</i>шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус<i>r</i>круга, лежащего в области<i>y</i>$\ge$<i>x</i>⁴и содержащего начало координат?)

а) Докажите для всех <i>n</i> > 2 неравенство     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_2.gif">б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, что для всех  <i>n</i> > 2   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_3.gif">

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10^{–|<i>x–d</i>|} (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что

<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

Пусть <i>n</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Через  <i>V</i>(<i>n, b</i>)  обозначим число разложений <i>n</i> на сомножители, каждый из которых больше <i>b</i> (например:

36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  <i>V</i>(36, 2) = 5).  Докажите, что  <i>V</i>(<i>n, b</i>) < ^<i>n</i>/_<i>b</i>.

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида

<i>y = a_nx</i>² + <i>b_nx + c_n</i>  (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?

Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку проходило ровно 1988 окружностей?

При каких <i>n</i> правильный <i>n</i>-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?

(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Из последовательности  <i>a</i>,  <i>a + d,  a</i> + 2<i>d,  a</i> + 3<i>d</i>, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где <i>d</i> не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^<i>a</i>/_<i>d</i>  рационально. Докажите это.

Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i>₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i>₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>₁; аналогично определим треугольники <i>T</i>₃, <i>T</i>₄ и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы

  а) треугольник <i>T</i>₁ был остроугольным?

  б) в последовательности <i>T</i>₁, <i>T</i>₂, <i>T</i&gt...

а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

Пусть<i>l</i>₁,<i>l</i>₂, ...,<nobr><i>l</i>_<i>n</i> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i>₁,<i>X</i>₂, ...,<i>X</i>_<i>n</i>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i>_<i>k</i>в точке<i>X</i>_<i>k</i>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.