Олимпиадные задачи по математике для 1-9 класса - сложность 1-2 с решениями

Пятизначное число называется <i>неразложимым</i>, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел.

Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём прямая <i>KL</i> параллельна <i>BC</i> и  <i>KL = KC</i>.  На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>M</i> так, что  ∠<i>KMB</i> = ∠<i>BAC</i>.  Докажите, что  <i>KM = AL</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>

Через точку <i>I</i> пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Треугольник <i>BMN</i> оказался остроугольным. На стороне <i>AC</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  ∠<i>ILA</i> = ∠<i>IMB</i>,  ∠<i>IKC</i> = ∠<i>INB</i>.  Докажите, что

<i>AM + KL + CN = AC</i>.

На стороне <i>BC</i> ромба <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>. Прямые, проведённые через <i>M</i> перпендикулярно диагоналям <i>BD</i> и <i>AC</i>, пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>PB, QC</i> и <i>AM</i> пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  <i>BM</i> : <i>MC</i>?

Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  выбрана точка <i>M</i> таким образом, что  ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>.  На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что

∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>.  Докажите, что  <i>BK = KM + MC</i>.

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

<i>KLMN</i> – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы <i>K</i> и <i>L</i>. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>KN</i> и <i>LM</i> пересекаются на стороне <i>KL</i>.

Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

<i>a, b, c</i> – натуральные числа,  НОД(<i>a, b, c</i>) = 1  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98165/problem_98165_img_2.gif">   Докажите, что  <i>a – b</i>  – точный квадрат.

Точка <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>W</i> – середина дуги <i>AB</i> описанной окружности, не содержащей <i>C</i>. Оказалось, что  ∠<i>AIM</i> = 90°.  В каком отношении точка <i>I</i> делит отрезок <i>CW</i>?

На доске написаны  <i>n</i> > 3  различных натуральных чисел, меньших чем  (<i>n</i> – 1)!.  Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил  100 = 14·7 + 2  и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина <i>k</i>-го прыжка равна  2^<i>k</i> + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>bx + a</i>  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.

Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 1  найдутся такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a + b = c + d = ab – cd</i> = 4<i>n</i>.

Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> выполнены соотношения  <i>AB = BD</i>,  ∠<i>ABD</i> = ∠<i>DBC</i>.  На диагонали <i>BD</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что  <i>BK = BC</i>.

Докажите, что  ∠<i>KAD</i> = ∠<i>KCD</i>.

По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,002 г.

Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.