Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса - сложность 3-5 с решениями
К двум непересекающимся окружностям ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> проведены три общие касательные – две внешние, <i>a</i> и <i>b</i>, и одна внутренняя, <i>c</i>. Прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> касаются окружности ω<sub>1</sub> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно, а окружности ω<sub>2</sub> – в точках <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i>...
Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> соответственно. Описанные окружности треугольников <i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>P<...
Точка <i>E</i> – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> с его вершиной <i>A</i>. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. Докажите, что точка <i>F</i>, симметричная точке <i>E</i> относительно прямой <i>B'C'</i>, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Пусть точка <i>I</i> – центр окружности ω, а <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AID</i>, пересекает вторично прямую <i>AO</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>AE</i> равна радиусу окружности ω.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через вершину <i>B</i> и центр <i>O</i> его описанной окружности, вторично пересекает стороны <i>BC</i> и <i>BA</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>POQ</i> лежит на прямой <i>AC</i>.
Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?
На сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>параллелограмма<i> ABCD </i>выбраны точки<i> A<sub>1</sub> </i>и<i> C<sub>1</sub> </i>соответственно. Отрезки<i> AC<sub>1</sub> </i>и<i> CA<sub>1</sub> </i>пересекаются в точке<i> P </i>. Описанные окружности треугольников <i> AA<sub>1</sub>P </i>и<i> CC<sub>1</sub>P </i>вторично пересекаются в точке<i> Q </i>, лежащей внутри треугольника <i> ACD </i>. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115402/problem_115402_img_2.gif"> PDA=<img align="absmiddle" src="/storage/...
Прямые, касающиеся окружности ω в точках <i>B</i> и <i>D</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i>, высекает на окружности хорду <i>AC</i>. Через точку отрезка <i>AC</i> проведена прямая, параллельная <i>BD</i>. Докажите, что она делит длины ломаных <i>ABC</i> и <i>ADC</i> в одинаковых отношениях.
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> точки <i>H</i> и <i>M</i> – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины <i>A, B</i> и <i>C</i> проведены прямые, перпендикулярные прямым <i>AM, BM, CM</i> соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой <i>MH</i>.
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
Точка<i> D </i>на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников<i> ABD </i>и<i> ACD </i>равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>, касающихся соответственно отрезков<i> BD </i>и<i> CD </i>, также равны.
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника <i> ABC </i> проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
<i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Известно, что отрезок <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекает среднюю линию, параллельную <i>AB</i>, в точке <i>C'</i>. Докажите, что отрезок <i>CC'</i> перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?
Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади<i> S </i>отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через<i> S' </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/110176/problem_110176_img_2.gif"><</i>3.
Окружности<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. В точке<i> A </i>к<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>проведены соответственно касательные<i> l<sub>1</sub> </i>и<i> l<sub>2</sub> </i>. Точки<i> T<sub>1</sub> </i>и<i> T<sub>2</sub> </i>выбраны соответственно на окружностях<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>так, что угловые меры дуг<i> T<sub>1</sub>A </i>и<i> AT<sub>2</sub> </i>равны (величина дуги...
Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?
Пусть <i>A</i><sub>0</sub> – середина стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>A'</i> – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в <i>A</i><sub>0</sub> и проходящую через <i>A'</i>. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге <i>BC</i>, не содержащей <i>A</i>, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.
Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.
В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/110043/problem_110043_img_2.gif"></div>Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.
Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>
f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>
Биссектрисы <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Биссектрисы внешних углов<i> A </i>и<i> B </i>пересекаются в точке<i> K </i>, внешних углов<i> B </i>и<i> C </i>– в точке<i> L </i>, внешних углов<i> C </i>и<i> D </i>– в точке<i> M </i>, внешних углов<i> D </i>и<i> A </i>– в точке<i> N </i>. Пусть<i> K<sub>1</sub> </i>,<i> L<sub>1</sub> </i>,<i> M<sub>1</sub> </i>,<i> N<sub>1</sub> </i>– точки пересечения высот треугольников<i> ABK </i>,<i> BCL </i>,<i> CDM </i>,<i> DAN </i>соответственно. До...
Четырёхугольник <i>ABCD</i> является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в <i>ABCD</i> окружность касается его сторон <i>AB, BC, CD</i> и <i>AD</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Биссектрисы внешних углов <i>A</i> и <i>B</i> четырёхугольника пересекаются в точке <i>K'</i>, внешних углов <i>B</i> и <i>C</i> – в точке <i>L'</i>, внешних углов <i>C</i> и <i>D</i> – в точке <i>M'</i>, внешних углов <i>D</i> и <i>A</i> – в точке <i>N'</i>. Докажите, что прямые <i>KK', LL', MM'</i> и <i>NN'</i> проход...
Пусть <i>I<sub>A</sub></i> и <i>I<sub>B</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I<sub>A</sub>CP</i> и <i>I<sub>B</sub>CP</i>, совпадает с центром окружности Ω.