Олимпиадные задачи по математике для 4-9 класса - сложность 3 с решениями

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются <i>товарищами</i>, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?

Даны натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> из отрезка  [2, 100].  Докажите, что при некотором натуральном <i>n</i> число <i>x</i>^2<i>ⁿ</i> + <i>y</i>^2<i>ⁿ</i>  – составное.

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Дан описанный четырёхугольник <i>ABCD, P, Q</i> и <i>R</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что биссектрисы углов <i>ABC, ADC</i> и диагональ <i>AC</i> пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  <i>|PQ| = |QR|</i>.

Найдите все такие натуральные  (<i>a, b</i>),  что <i>a</i>² делится на натуральное число  2<i>ab</i>² – <i>b</i>³ + 1.

Дано 101-элементное подмножество <i>A</i> множества  <i>S</i> = {1, 2, ..., 1000000}.

Докажите, что для некоторых  <i>t</i>₁, ..., <i>t</i>₁₀₀  из <i>S</i> множества   <i>A_j</i> = {<i>x + t_j</i> | <i>x</i> ∈ <i>A;  j</i> = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Покажите, что если  4<i>ab</i> – 1  делит  (4<i>a</i>² – 1)²,  то  <i>a = b</i>.

Найдите все такие пары  (<i>x, y</i>)  целых чисел, что  1 + 2<i>^x</i> + 2^2<i>x</i>+1 = <i>y</i>².

Точка<i>I</i>– центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Внутри треугольника выбрана точка<i>P</i>такая, что <center> <font face="Symbol">Ð</font><i>PBA</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCA</i> = <font face="Symbol">Ð</font><i>PBC</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCB.</i></center> Докажите, что<i>AP</i>≥<i>AI</i>, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда<i>P</i>совпадает с<i>I</i>.

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены <i>запрещёнными</i>. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв <i>a</i> и <i>b</i>, что при одновременной замене всех букв <i>a</i> на <i>aba</i> и букв <i>b</i> на <i>bba</i> она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.

Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Функции  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через <i>m</i> число пар  (<i>x, y</i>),  для которых

<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>),  через <i>n</i> – число пар, для которых  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>),  а через <i>k</i> – число пар, для которых <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>).  Докажите, что  2<i>m ≤ n + k</i>.

Окружность <i>S</i>₁, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Окружность <i>S</i>₂, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>E</i> и окружность <i>S</i>₁ вторично в точке <i>F</i>. Оказалось, что точки <i>A, E, D, C</i> лежат на окружности <i>S</i>₃ с центром <i>O</i>. Докажите, что угол <i>BFO</i> – прямой.

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?

Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

Докажите, что у выпуклого 10<i>n</i>-гранника найдётся <i>n</i> граней с одинаковым числом сторон.

Для каждого целого неотрицательного числа <i>i</i> определим число <i>M</i>(<i>i</i>) следующим образом: запишем число <i>i</i> в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то <i>M</i>(<i>i</i>) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).

  а) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ... , <i>M</i>(1000).  Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.

  б) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ..., <i>M</i>(1000000).  Докажите, что число таких членов последовательности, что  &...

На доске написано несколько целых положительных чисел: <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ... , <i>a_n</i>. Пишем на другой доске следующие числа: <i>b</i>₀ – сколько всего чисел на первой доске, <i>b</i>₁ – сколько там чисел, больших единицы, <i>b</i>₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа <i>c</i>₀, <i>c</i>₁, <i>c</i>₂, ... , построенные по ч...