Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны соответственно точки <i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub>, отличные от вершин. Пусть <i>K</i> – середина <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, а <i>I</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub><i>I</i> вписанный. Докажите, что угол <i>AKC</i> тупой.
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> выбраны на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно. Оказалось, что <i>AB</i><sub>1</sub> – <i>AC</i><sub>1</sub> = <i>CA</i><sub>1</sub> – <i>CB</i><sub>1</sub> = <i>BC</i><sub>1</sub> – <i>BA</i><sub>1</sub>. Пусть <i>O<sub>A</sub></i>, <i>O<sub>B</sub></i> и <i>O<sub>C</sub></i> – центры описанных окружностей треугольников <i>AB</i><sub>1</sub&...
Пусть <i>p</i> – простое число. Набор из <i>p</i> + 2 натуральных чисел (не обязательно различных) назовём <i>интересным</i>, если сумма любых <i>p</i> из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.
Из вершины <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> опущены высоты <i>AM</i> на <i>BC</i> и <i>AN</i> на <i>CD</i>. <i>P</i> – точка пересечения <i>BN</i> и <i>DM</i>. Докажите, что прямые <i>AP</i> и <i>MN</i> перпендикулярны.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Отрезок <i>AA</i><sub>1</sub> вторично пересекает вписанную окружность в точке <i>Q</i>. Прямая <i>l</i> параллельна <i>BC</i> и проходит через <i>A</i>. Прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекают <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>R</i> соответственно. Докажите, что ∠<i...
В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.
На сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1,A_1,B_1$ так, что отрезки $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C1$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$ и $C_2$. Докажите, что точки $A,C,$ точка пересечения $A_2C_2$ с $BB_1$ и середина $A_2C_2$ лежат на одной окружности.
На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали перпендикулярны. На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> отмечены соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что углы <i>ABN</i> и <i>CBM</i> прямые. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>MN</i> параллельны.
Окружность с центром <i>I</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Пусть <i>I<sub>a</sub>, I<sub>b</sub>, I<sub>c</sub></i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся соответственно сторон <i>BC, CA, AB</i>. Отрезки <i>I<sub>a</sub>B</i><sub>1</sub> и <i>I<sub>b</sub>A</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>C</i><sub>2</sub>. Аналогично отрезки <i>I<sub>b<...