Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса - сложность 3 с решениями
Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub> симметричны точкам <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub>,...
<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$. Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.
Биссектрисы $AA_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B=60^{\circ}$, пересекаются в точке $I$. Описанные окружности треугольников $ABC$, $A_1IC_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ проходит через середину стороны $AC$.
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.
Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H. H<sub>A</sub></i> – точка симметричная <i>H</i> относительно <i>A. H<sub>A</sub>C</i><sub>1</sub> пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C'</i>; аналогично определяется точка <i>A'</i>. Докажите, что <i>A'C' || AC</i>.
Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> пересекает прямые <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> в точках <i>A</i><sub>0</sub> и <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...
По стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> движется точка <i>X</i>, а по описанной окружности Ω – точка <i>Y</i> так, что прямая <i>XY</i> проходит через середину дуги <i>AB</i>. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>IXY</i>, где <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины гипотенузы <i>AB</i> и катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> соответственно. Вневписанная окружность треугольника <i>ACM</i> касается стороны <i>AM</i> в точке <i>Q</i>, а прямой <i>AC</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.
В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I<sub>b</sub></i> и <i>I<sub>c</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI<sub>b</sub>I<sub>c</sub></i>.
На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub>; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> движется по прямой.
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω<sub>2</sub> – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω<sub>2</sub> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>MQ || AL</i>.
Точки <i>M, N</i> – середины диагоналей <i>AC, BD</i> прямоугольной трапеции <i>ABCD</i> (∠<i>A</i> = ∠<i>D</i> = 90°). Описанные окружности треугольников <i>ABN, CDM</i> пересекают прямую <i>BC</i> в точках <i>Q, R</i>. Докажите, что точки <i>Q, R</i> равноудалены от середины отрезка <i>MN</i>.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Вписанная окружность треугольника <i>ACC'</i> касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>; Вписанная окружность треугольника <i>BCC'</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> и <i>CC&#...
Пусть <i>BD</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Точки <i>I<sub>a</sub>, I<sub>c</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABD, CBD</i>. Прямая <i>I<sub>a</sub>I<sub>c</sub></i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что ∠<i>DBQ</i> = 90°.