Олимпиадные задачи по математике для 2-10 класса - сложность 3 с решениями
Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116897/problem_116897_img_2.gif"></div>
Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... Известно, что для любого номера <i>k</i> можно указать такое натуральное число <i>t</i>, что
<i>a<sub>k</sub> = a<sub>k+t</sub> = a</i><sub><i>k</i>+2<i>t</i></sub> = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное <i>T</i>, что <i>a<sub>k</sub> = a<sub>k+T</sub></i> при любом натуральном <i>k</i>?
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65649/problem_65649_img_2.png"></div>
В трапеции <i>ABCD</i> биссектрисы углов <i>A</i> и <i>D</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лежащей на боковой стороне <i>BC</i>. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а две другие касаются биссектрисы <i>DE</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что <i>BK = MN</i>.