Пусть O_a — точка пересечения окружности, проходящей через точку Bи касающейся прямойACв точке A, и окружности, проходящей через точку Cи касающейся прямойABв точке A. Согласно задаче 19.41, б) точка O_aявляется центром поворотной гомотетии, переводящей отрезокBAв отрезокAC. Определив аналогично точки O_bи O_cи воспользовавшись результатом задачи 19.49, б), получим, что прямыеAO_a,BO_bи CO_cпересекаются в точке, лежащей на окружности подобия S. С другой стороны, эти прямые пересекаются в точке Лемуана K(см. задачу 5.128). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника являются соответственными прямыми рассматриваемых подобных фигур. Они пересекаются в точке O, поэтому точка Oлежит на окружности подобия S(см. задачу 19.51, а)); кроме того, эти прямые пересекают окружность Sв постоянных точках A₁,B₁и C₁треугольникаABC(см. задачу 19.51, б)). С другой стороны, прямые, проходящие через точку KпараллельноBC,CAи AB, тоже являются соответственными прямыми рассматриваемых фигур (см. решение задачи 5.132), поэтому они тоже пересекают окружность Sв точках A₁,B₁и C₁. Следовательно,OA₁$\perp$A₁K, т. е.OK — диаметр окружности S.

Ответ задачи отсутствует